歐幾里得46、戴德金分割

【戴德金分割】4

分割的3種可能：

第2種：B有一個最小元素b，A沒有最大元素。例如A是所有<1的有理數(shù)，B是所有≥1的有理數(shù)。

“數(shù)學(xué)家用‘min’表示‘最小’，‘min’源自英語單詞minimum（最小的），”中學(xué)生說，“那么，B有一個最小元素b，這個‘最小元素b’就可以表示成b（min）…”

“B有b（min），A沒有最大元素，即：集合B包含b（min）及所有大于b（min）的有理數(shù)，集合A包含所有小于b（min）的有理數(shù)，”中學(xué)生接著說，“例如A是所有<1的有理數(shù)，B是所有≥1的有理數(shù)?！?/p>

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【戴德金分割】5

分割的3種可能：

第3種：A沒有最大元素，B也沒有最小元素。例如A是所有負(fù)的有理數(shù)，零和平方小于2的正有理數(shù)，B是所有平方大于2的正有理數(shù)。

“平方等于2的數(shù)是分界點，”中學(xué)生說。

“平方等于2的數(shù)，就是對2做開方運算后，得出的那個數(shù)，”中學(xué)生接著說，“它可以用√2（根號2）表示——這一點，我們在前面《歐幾里得34》中已做過詳細(xì)敘述?！?/p>

…

“分割的第3種可能，可以簡略的敘述為：A沒有最大元素，B也沒有最小元素。例如A是所有＜√2的有理數(shù)，B是所有＞√2的有理數(shù)?！敝袑W(xué)生最后說。

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【戴德金分割】6

A沒有最大元素，B也沒有最小元素。例如A是所有負(fù)的有理數(shù)，零和平方小于2的正有理數(shù)，B是所有平方大于2的正有理數(shù)。顯然，集合A和集合B合并起來（簡稱“A和B的并集”）是所有的有理數(shù)（因為平方等于2的數(shù)不是有理數(shù)）。

平方等于2的數(shù)不是有理數(shù)，但它又確確實實是一個數(shù)。

…

戴德金稱第3種分割定義了一個無理數(shù)，或者簡單的說，這個分割就是一個無理數(shù)。

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…無、無理數(shù)：見《歐幾里得27》…

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前面2個分割是有理數(shù)。

這樣，所有可能的分割（既有有理數(shù)，又有無理數(shù)）構(gòu)成了數(shù)軸上的每一個點。

數(shù)軸上的點，統(tǒng)稱實數(shù)。

“前提是實數(shù)和直線上的點有著一一對應(yīng)關(guān)系?！贝鞯陆鹫f。

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【戴德金分割】7

思考題：

假設(shè)給定某種方法，把所有的有理數(shù)分為兩個集合，A和B， A中的每一個元素都小于B中的每一個元素，任何一種分類方法稱為有理數(shù)的一個分割。

…

戴德金分割的第4種可能：A有最大元素a，B有最小元素b，例如A是所有≤1的有理數(shù)，B是所有≥1.1的有理數(shù)。

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有沒有這種可能？

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思考題簡略版：A有a（max），B有b（min），例如A是所有≤1的有理數(shù)，B是所有≥1.1的有理數(shù)。

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有沒有這種可能？

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“這是不可能的。因為這樣就會出現(xiàn)不存在于A、B兩個集合中的有理數(shù)（例如上面例子中，1和1.1之間的有理數(shù)：1.01，1.001…），這與‘A和B的并集是所有有理數(shù)’矛盾?！敝袑W(xué)生說。

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【戴德金分割】8

“這里我們發(fā)散一下思維（讓思維自由飛翔一下）：比1稍大的有理數(shù)，可以寫作‘1.000…1’，”中學(xué)生說，“這樣的話，有理數(shù)就可以分為兩個集合：≤1的有理數(shù)和≥‘1.000…1’的有理數(shù)。”

“這樣的話，這個分割，既不是有理數(shù)，也不是無理數(shù)，”中學(xué)生接著說，“這種分割不是一個數(shù)?！?/p>

“這種分割是一個單純的分割——比如，我們把1，2，3，4，5分成{1，2，3}、{4，5}兩個集合，就是這樣的分割?！敝袑W(xué)生繼續(xù)說。

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“存在這樣的分割嗎？”中學(xué)生最后說，“其實，這樣的分割是不存在的…”

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“問題的關(guān)鍵點在于‘1.000…1’，”中學(xué)生說。

“‘1.000…1’是什么？”中學(xué)生接著說，“根據(jù)大前提，它是有理數(shù)——即‘比1稍大的有理數(shù)’。可有理數(shù)是能準(zhǔn)確寫出來的數(shù)（如整數(shù)、分?jǐn)?shù)）。”

…前、提、前提：見《歐幾里得13》…

“我們無法準(zhǔn)確寫出‘比1稍大的有理數(shù)’，”中學(xué)生繼續(xù)說，“我們知道‘比1稍大的有理數(shù)’存在，但是卻不能準(zhǔn)確寫出它?！?/p>

‘比1稍大的有理數(shù)’，其實是無理數(shù)。”中學(xué)生最后說。

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“‘1.000…1’是一個無理數(shù)，那么，戴德金分割的第4種可能里，有理數(shù)的兩個集合就變成：≤1的有理數(shù)和＞1的有理數(shù)?！敝袑W(xué)生說。

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“‘≤1的有理數(shù)和＞1的有理數(shù)’，這，其實是戴德金分割的第1種可能（見《歐幾里得45》）。”中學(xué)生最后說。

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“匯知園：我覺得這部分內(nèi)容，包括上確界、下確界這些東西，初中生是完全可以理解的。

請看下集《歐幾里得47、上確界、下確界這些東西，初中生是完全可以理解的》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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