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第五章 定積分

第一節(jié)?定積分的概念與性質(zhì)

一、定積分問(wèn)題舉例

1.曲邊梯形的面積

概念：

• 曲邊梯形：設(shè)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上非負(fù)、連續(xù)。由直線x=a、x=b、y=0及曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形。

• 曲邊：其中曲線弧稱為曲邊。

• 面積公式：矩形面積=高x底。

計(jì)算方法：把區(qū)間[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

——把[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間

——它們的長(zhǎng)度依次為

——經(jīng)過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線段，把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形

——為了保證所有小區(qū)間的長(zhǎng)度都無(wú)限縮小，我們要求小區(qū)間長(zhǎng)度中的最大值區(qū)域0，如記

——?jiǎng)t上述條件可表為λ→0，當(dāng)λ→0時(shí)（這是分?jǐn)?shù)段n無(wú)限增多，即n→∞），取上述和式的極限，便得曲邊梯形的面積

2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

等速直線運(yùn)動(dòng)公式：路程=速度x時(shí)間。

計(jì)算方法：在時(shí)間間隔

——內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

——分成n個(gè)小區(qū)間

——各小時(shí)段的長(zhǎng)依次為

——相應(yīng)的，在各段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過(guò)的路程依次為

——

?

——記

——當(dāng)λ→0時(shí)，取上述和式的極限，即得變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

二、定積分定義

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)

——把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間

——各個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為

——

——記

——如果不論對(duì)[a,b]怎樣劃分，也不論在小區(qū)間

——只要當(dāng)λ→0時(shí)，和S總區(qū)域確定的極限I，那么稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分（簡(jiǎn)稱積分），記作

——其中f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達(dá)式，x叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，[a,b]叫做積分區(qū)間。

?

定理：

1. 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。

2. 設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a,b]上可積。

?

三、定積分的近似計(jì)算

方法：

• 矩形法：設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，這時(shí)定積分

????——存在，把區(qū)間[a,b]等分的分法，即用分點(diǎn)

???? ——將[a,b]分成n個(gè)長(zhǎng)度相等的小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)為

????——

????——從而對(duì)于任一確定的正整數(shù)n，有

????——記

????——以上求定積分近似值的方法稱為矩形法，公式稱為矩形法公式。

• 梯形法：將曲線y=f(x)上的小弧段用直線段代替，也就是把窄條曲邊梯形用窄條梯形代替，由此得到的定積分的近似值為

• 拋物線法（辛普森（Simpson）法）：將曲線y=f(x)上的兩個(gè)小弧段合起來(lái)，用過(guò)兩個(gè)弧段三個(gè)端點(diǎn)的拋物線

????——代替，經(jīng)推導(dǎo)可得，以此拋物線弧段為曲邊、以小區(qū)間長(zhǎng)度為底的曲邊面積為

????——取n為偶數(shù)，得到定積分的近似值

四、定積分的性質(zhì)

性質(zhì)：

定積分中值定理：如果函數(shù)f(x)在積分區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使下式成立：

——這個(gè)公式叫做積分中值公式。