?作者：Steven Strogatz
?翻譯：Nothing
?審校：loulou

“藝術(shù)是讓我們認(rèn)識真理的謊言?！碑吋铀鳎≒ablo Picasso）如是說。同樣的話也適用于微積分，微積分可以幫我們打造認(rèn)識自然的模型，但它不見得可以真實(shí)的反映自然。為了說明背后的原因，不妨讓我講一個關(guān)于地球上最快的短跑運(yùn)動員的故事。

2008年8月16日，在北京的一個無風(fēng)的夜晚，地球上最強(qiáng)的八名短跑運(yùn)動員站在100米跑道的起跑線前。他們中有一位名為尤賽恩·博爾特的牙買加短跑運(yùn)動員，他是這項(xiàng)賽事的一個新面孔，年僅21歲。之前，博爾特更多的是以200米短跑運(yùn)動員的身份出現(xiàn)在公眾面前，但是他花了幾年的時間說服教練讓自己改練100米，前一年他就已經(jīng)是100米短跑這個項(xiàng)目中相當(dāng)有實(shí)力的選手了。

其實(shí)他并不是一個典型的短跑運(yùn)動員。他身高195cm，身材頎長，步幅巨大。小時候，他專注于足球和板球這兩項(xiàng)運(yùn)動，直到他的板球教練注意到他的跑步速度并建議他試試田徑。作為一個少年，他的跑步成績一直在進(jìn)步，但他一直沒有特別認(rèn)真地對待這項(xiàng)運(yùn)動。他又憨又淘氣，喜歡惡作劇。

在北京的那個夜晚，在介紹完所有運(yùn)動員之后，體育場一篇寂靜。所有運(yùn)動員都在起跑器上做好了準(zhǔn)備姿勢，隨著一聲槍響，比賽開始。

博爾特聽槍起跑但是啟動慢了一點(diǎn)，起跑反應(yīng)時間排在第七位。接著他開始加速，前三十米他已經(jīng)沖到了中間位置。接下來他像一輛大馬力機(jī)車一樣繼續(xù)加速，他逐漸和其他選手拉開距離。

在80米處，他回頭望月看了一眼其他對手。當(dāng)意識到終點(diǎn)就在眼前時，他明顯的放松下來，雙臂垂在身體兩側(cè)，在沖過終點(diǎn)時他抬手拍打胸口。顯然，博爾特并沒有用盡全力就拿到了冠軍，這使得人們好奇他到底可以跑多快。這次比賽中他創(chuàng)造了9.69秒的百米世界紀(jì)錄。

他跑的有多快？9.69秒跑完100米相當(dāng)于平均速度10.32m/s。也就是說大約37km/h。但這是他整個比賽中的平均速度，他在起跑時速度較慢但是在中間部分速度較快。

通過對每十米內(nèi)的運(yùn)動情況進(jìn)行分析可以得到更詳細(xì)的信息。他在1.83秒內(nèi)跑完前10米，相當(dāng)于平均速度為5.46米/秒。他在50到60米，60到70米和70到80米之間速度最快。在這段距離內(nèi)，他在0.82秒內(nèi)跑完了10米的距離，平均速度為每秒12.2米。在最后10米，他放松下來，平均速度降至11.1m/s。

現(xiàn)在人們更喜歡看圖表，因此，與其像我們剛才那樣仔細(xì)研究數(shù)字，不如把它們形象化，這通常能提供更多信息。下圖顯示了博爾特跑過10米、20米、30米等距離的經(jīng)過時間，直到他在100米處通過終點(diǎn)線用時9.69秒。

我把這些點(diǎn)用直線連接起來，但要記住的是只有這些點(diǎn)才是真實(shí)的數(shù)據(jù)。這些點(diǎn)和它們之間的線段一起形成一條折線。前端的折線斜率比較小，對應(yīng)于比賽開始時博爾特較低的速度。當(dāng)我們的視線向右移動時發(fā)現(xiàn)折線彎曲；這意味著他在加速。然后，折線中出現(xiàn)了一段直線，這表明他在比賽的大部分時間里都保持著高且穩(wěn)定的速度。

人們自然會想問他什么時候跑得最快，在賽道上什么地方跑得最快。我們知道他十米內(nèi)最快的平均速度，發(fā)生在50到80米之間，但這不是我們想要的；我們對他的最高瞬時速度更感興趣。想象一下，烏塞恩·博爾特戴著速度表。他什么時候跑得最快？那到底有多快？

我們要找的是一種測量他的瞬時速度的方法。這個概念看起來幾乎是自相矛盾的。任何時刻，博爾特都在一個固定的位置。他被固定住了，就像在快照里一樣。那么說他那一刻的速度意味著什么呢？位移只能在一個時間間隔內(nèi)發(fā)生，而不能在一個瞬間發(fā)生。

瞬間速度之謎可以追溯到大約在公元前450年的芝諾和他那可怕的悖論。回想一下，在他關(guān)于阿基里斯和烏龜?shù)你Ｕ撝?，芝諾聲稱，一個跑得快的人永遠(yuǎn)也無法超越一個跑得慢的人，不管在北京的那個夜晚博爾特跑得有多快。在他的飛矢不動悖論中，芝諾認(rèn)為飛行中的箭永遠(yuǎn)不會移動。數(shù)學(xué)家們?nèi)匀徊淮_定他試圖用他的悖論來說明什么觀點(diǎn)，但我的猜測是，瞬時速度的概念困擾著芝諾、亞里士多德和其他希臘哲學(xué)家。他們的不安也許可以解釋為什么希臘數(shù)學(xué)總是對運(yùn)動和變化保持沉默。像無窮大一樣，這些討厭的話題似乎已經(jīng)從日常的談話中被排除了。

芝諾之后兩千年，微分學(xué)的創(chuàng)始人解決了瞬時速度的難題。他們直觀的解決方案是將瞬時速度定義為一個極限——特別是在更短的時間間隔內(nèi)平均速度的極限。

為了使這一方法取得成功，我們必須假設(shè)他在賽道上的距離是連續(xù)變化的。否則我們正在考察的極限就不存在了，而且隨著時間間隔的縮短，結(jié)果也不會變得合理。但是，作為時間的函數(shù)，他的距離真的是連續(xù)變化的嗎？我們并不能確定。我們僅有的數(shù)據(jù)是博爾特在跑道上每10米標(biāo)記處運(yùn)行時間的離散樣本。為了估計(jì)他的瞬時速度，我們需要超越這些數(shù)據(jù)，有根據(jù)地猜測他在這些點(diǎn)之間的位置。

進(jìn)行這種推測的方法叫內(nèi)插法。其思想是在可用數(shù)據(jù)之間繪制一條平滑的曲線。換句話說，我們連接已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，但不是像我們已經(jīng)做的那樣用直線段連接，而是用平滑曲線穿過這些點(diǎn)，或者至少是讓我們繪制的曲線非?？拷鼣?shù)據(jù)點(diǎn)。這條曲線的幾個前提是：它應(yīng)該是平滑的；它應(yīng)該盡可能靠近所有的點(diǎn)；它應(yīng)該可以體現(xiàn)出，博爾特的初始速度是零，因?yàn)槲覀冎浪诙鬃藭r是靜止的。有許多不同的曲線符合這些標(biāo)準(zhǔn)。統(tǒng)計(jì)學(xué)家設(shè)計(jì)了一系列將平滑曲線擬合到數(shù)據(jù)上的技術(shù)。它們都給出了相似的結(jié)果，而且由于它們都滿足了我們提到的那些前提，所以我們可以選擇其中一個。

下面是一個滿足所有要求的平滑曲線示例。

由于曲線光滑是光滑的，所以可以計(jì)算出各點(diǎn)的斜率。所得圖表給出了烏塞恩博爾特在北京創(chuàng)紀(jì)錄比賽的每一瞬間的速度估計(jì)。

這表明博爾特在比賽的四分之三處達(dá)到了每秒12.3米的最高速度。在那之前，他一直在加速。在那之后，他減速了很多，以至于當(dāng)他越過終點(diǎn)線時，他的速度降到每秒10.1米。這張圖表證實(shí)了大家所看到的；博爾特在接近終點(diǎn)時，特別是在最后20米時，速度明顯減慢。

第二年，在2009年柏林世界錦標(biāo)賽上，博爾特以9.58秒的驚人成績打破了在北京創(chuàng)造的9.69秒的世界紀(jì)錄。由于人們對博爾特破紀(jì)錄抱有很大期待，生物力學(xué)研究人員手持激光槍記錄了博爾特的比賽，這些高科技儀器使研究人員能夠以每秒100次的頻率測量短跑運(yùn)動員的位置。當(dāng)他們計(jì)算博爾特的瞬時速度時，他們發(fā)現(xiàn)：

整條曲線上的小波動代表了跨步過程中不可避免的速度上下波動。畢竟，跑步包含一系列的騰空和落地。每當(dāng)博爾特一只腳著地，瞬間剎車時，他的速度就變了一點(diǎn)，然后向后蹬地，他就再次騰空。

盡管它們很有趣，但對于數(shù)據(jù)分析師來說，這些小的波動是討厭并且令人困擾的。我們真正想看到的是趨勢，而不是波動，在收集了所有的高分辨率數(shù)據(jù)并觀察了這些波動之后，研究人員無論如何都必須清除它們。他們把它們過濾掉，以揭示更有意義的變化趨勢。

對我來說，這些波動還有更多的意義。如果我們試圖把測量值的分辨率提高到非常高，如果我們在時間或空間中以極高的精度來觀察任何現(xiàn)象，我們就會開始看到各種不平滑的現(xiàn)象。在博爾特的速度數(shù)據(jù)中，整體的趨勢很平穩(wěn)。同樣的事情也會發(fā)生在任何形式的運(yùn)動中，如果我們能在分子尺度上測量它。在這個水平上，運(yùn)動會變得不平穩(wěn)。微積分將不再有什么信息可告訴我們的，至少不是直接的信息。然而，如果我們關(guān)心的是整體趨勢，那么消除這種抖動就足夠了。微積分使我們對宇宙運(yùn)動和變化的本質(zhì)有了深刻的了解，這證明了光滑的力量，盡管它可能是近似的。

這里還有最后一點(diǎn)內(nèi)容。在數(shù)學(xué)建模中，就像在所有科學(xué)中一樣，我們總是要對什么值得關(guān)注，什么要被忽視掉做出選擇。伽利略發(fā)現(xiàn)了沿著斜坡滾動的球的運(yùn)動公式，但要找到它，他必須忽略摩擦力和空氣阻力。艾薩克·牛頓用微積分和他的運(yùn)動定律和引力定律來解釋為什么行星繞著太陽作橢圓軌道運(yùn)動，但要做到這一點(diǎn)，他必須忽略太陽系中所有其他行星相互競爭的引力。抽象的藝術(shù)在于知道什么是本質(zhì)，什么是細(xì)節(jié)，什么是信號，什么是噪音，什么是趨勢，什么是擾動。這是一門藝術(shù)，因?yàn)檫@樣的選擇總是涉及到冒險的因素；略去某些因素的做法和欺騙之間只有一線之隔。像伽利略和牛頓這樣最偉大的科學(xué)家，正是沿著懸崖前進(jìn)。

原文地址：https://www.quantamagazine.org/infinite-powers-usain-bolt-and-the-art-of-calculus-20190403/

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