【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)35】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
混合積：向量a與b的外積，再與向量c作內(nèi)積，結(jié)果是一個數(shù)量，稱為三向量依順序a，b，c的混合積，記為（a，b，c），即（a，b，c）=（axb）c；
混合積性質(zhì)：
a.當(dāng)a，b，c組成右手系時，（a，b，c）>0；
b.當(dāng)a，b，c組成左手系時，（a，b，c）<0；
幾何意義：（a，b，c）是以a，b，c為鄰邊的平行六面體的體積；
性質(zhì)：
a.（a，a，c）=0；
b.（a，b，c）=（b，c，a）=（c，a，b）=-（b，a，c）=-（c，b，a）=-（a，c，b）；
c.（a1+a2，b，c）=（a1，b，c）+（a2，b，c）；
d.（λa，b，c）=λ（a，b，c）（λ是實數(shù)）。
矩陣乘法運算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反對稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強?編著）
《解析幾何》（呂林根 許子道?編）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強?編著）》）——
試證明下列極限式：.lim n^（1/n）=1
證：利用伯努利不等式（牛頓二項式展開）：對a>1，令a=1+α，
a^n=（1+α）^n=1+nα+n（n-1）α^2/2+……>1+nα，
a^n=（1+α）^n=1+nα+n（n-1）α^2/2+……>n（n-1）α^2/2，n>=2——
n>1時，n^（1/n）>1，令hn=n^（1/n）-1（n>1）；
n>1時，n=（1+hn）^n>n（n-1）hn^2/2，即hn<2^（1/2）/（n-1）^（1/2）；
0<n^（1/n）-1=hn<2^（1/2）/（n-1）^（1/2）；
lim?2^（1/2）/（n-1）^（1/2）=0，則lim n^（1/n）=1.
解析幾何——
例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——
已知四面體ABCD的頂點坐標(biāo)A（0,0,0），B（6,0,6），C（4,3,0），D（2,-1,3）,求它的體積.
解：
已知四面體ABCD的體積V等于以AB，AC的和AD為棱的平行六面體的體積的六分之一，因此V=|（AB,AC,AD）|/6；
AB=（6,0,6），AC=（4,3,0），AD=（2,-1,3）；
（AB,AC,AD）=-6，V=|（AB,AC,AD）|/6=1.
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
證明：若B1，B2都與A可交換，則B1+B2，B1B2也都與A可交換.
證：
B1，B2都與A可交換，即B1A=AB1，B2A=AB2；
（B1+B2）A=B1A+B2A=AB1+AB2=A（B1+B2）；
（B1B2）A=B1（B2A）=B1（AB2）=（B1A）B2=（AB1）B2=A（B1B2），證畢。
到這里！
