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這篇文章介紹了一類(lèi)離散隨機(jī)波動(dòng)率模型，并介紹了一些特殊情況，包括 GARCH 和 ARCH 模型。本文展示了如何模擬這些過(guò)程以及參數(shù)估計(jì)。本文為這些實(shí)驗(yàn)編寫(xiě)的 Python 代碼在文章末尾引用。

離散隨機(jī)波動(dòng)率模型

是一個(gè)隨機(jī)基，有一個(gè)完整的

?

?的可測(cè)量子集?

?, 一個(gè)概率

和一個(gè)過(guò)濾

• 因此，時(shí)間實(shí)例使用非負(fù)整數(shù)進(jìn)行索引?

• 獲取序列的第一個(gè) t元素?

• , 記

• .

離散隨機(jī)波動(dòng)率(? ?DSV) 模型?

?是一個(gè)實(shí)值?stochastic process?（一系列隨機(jī)變量）滿(mǎn)足以下方程：

其中：

• Z 是 F 的噪聲過(guò)程。

• φi 是實(shí)數(shù)，我假設(shè)?

• ?并且 gi ,hi 是非負(fù)值。

• fi 、gi 和 h_ihi 是過(guò)程的確定性函數(shù)。

• 過(guò)程?

• ?通常稱(chēng)為?偏移，而 σ 稱(chēng)為??X的波動(dòng)率。因?yàn)棣?是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，所以上面定義的過(guò)程 X?屬于一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)率模型的大家族。

• 對(duì)于噪聲過(guò)程 Z，使得每個(gè) Z_t的均值和方差都存在，我們有?

• ?和?

• .

案例

制定通用 DSV 模型的特化：

后移算子?

，對(duì)于?

，產(chǎn)生其參數(shù)過(guò)程的滯后版本，即?

， 和?

， 如果?

. 例如

為方便起見(jiàn)，我設(shè)置?

?和?

.

對(duì)于下面列表中的所有特殊情況，我假設(shè)函數(shù) fi 、gi 和 h_i從參數(shù)過(guò)程的歷史中選擇一個(gè)元素，即?

， 和?

.

GARCH?過(guò)程定義另外設(shè)置

。

GARCH(1, 1)過(guò)程非常流行，所以讓我們明確地統(tǒng)計(jì)動(dòng)態(tài)：

在?ARCH?過(guò)程中，波動(dòng)性具有簡(jiǎn)化形式，對(duì)于所有 i，λi = 0，并且?

。

ARCH(1)過(guò)程還?滿(mǎn)足?

?對(duì)所有??

:

模擬

離散隨機(jī)波動(dòng)率模型通常用于對(duì)觀察到的時(shí)間序列的對(duì)數(shù)收益進(jìn)行建模。因此，為了模擬原始時(shí)間序列的路徑，我們需要模擬其對(duì)數(shù)收益并計(jì)算?

.

由帶參數(shù)的高斯噪聲驅(qū)動(dòng)的 GARCH(1,1) 過(guò)程的樣本路徑?

:

1. path( [0.001, 0.2, 0.25])

2. cumprod* repeat.reshape

3. plt.subplots

注意 σ 過(guò)程為?

?不能低于?

≈0.0353

最大似然估計(jì)

最大似然（ML）參數(shù)估計(jì)是所有討論模型的選擇方法，因?yàn)檗D(zhuǎn)換密度，即給定過(guò)去信息的 X_t 的密度

是明確已知的。因此，過(guò)程樣本路徑 x?的對(duì)數(shù)似然函數(shù)由下式給出

其中

，而

?是 Z的密度。將上述對(duì)數(shù)似然函數(shù)最小化可得到?

的最大似然估計(jì)

：

.

蒙特卡羅研究

為了測(cè)試 ML 參數(shù)估計(jì)過(guò)程，我進(jìn)行了以下蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。

• 使用參數(shù) (0.001, 0.2, 0.25) 模擬長(zhǎng)度為 5000 的 2500 個(gè)獨(dú)立 GARCH(1,1) 過(guò)程路徑。我使用了高斯噪聲，即?

• .

• 將這些路徑中的每一個(gè)都輸入到 ML 估計(jì)并獲得估計(jì)的參數(shù)向量?

• .

• 此優(yōu)化過(guò)程中參數(shù)的搜索范圍限制為 [1e-8, 1]。

• 將原始

• 與估計(jì)的?

• 進(jìn)行比較。

• 使用參數(shù)向量

• 模擬 GARCH(1,1)，計(jì)算均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并將它們與“真實(shí)”均值和標(biāo)準(zhǔn)差（分別為 5.098 和 1.084）進(jìn)行比較。

正如期望的那樣，估計(jì)量?

非常不準(zhǔn)確，并且在大多數(shù)情況下，甚至不接近真實(shí)向量

。特別是，估計(jì)的

和?

通常設(shè)置為零（參見(jiàn)下面的直方圖）。

1. ps = [0.001, 0.2, 0.25]

2. 


3. cumprod * repeat

4. print, np.std

另一方面，來(lái)自估計(jì)的

的過(guò)程均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差要準(zhǔn)確得多。這是一件好事，因?yàn)槲覀兺ǔ８P(guān)心恢復(fù)未知數(shù)據(jù)生成過(guò)程的特征，而不是模型的真實(shí)參數(shù)值。

1. mes, stvs, esms

2. 


3. ax[1].hist

4. fig.tight_layout

柯西噪音

噪聲過(guò)程 ?不必歸一化為均值 0 和方差 1。實(shí)際上，我們只需要確保隨機(jī)變量 Zt 的分布具有密度即可。如果是這種情況，過(guò)程模擬和 ML 估計(jì)都可以按照描述的方式工作。

那么如何用從柯西分布中采樣的噪聲替換高斯噪聲呢？在許多概率論書(shū)籍中，柯西分布被用作反例，因?yàn)樗哂性S多“病態(tài)”特性。例如，它沒(méi)有均值，因此也沒(méi)有方差。

我不知道柯西分布中的不穩(wěn)定樣本是什么樣子的?？匆幌聨в袇?shù)向量的 GARCH(1,1) 過(guò)程的示例路徑?

:

如果使用路徑生成函數(shù)的時(shí)間足夠長(zhǎng)，甚至可能會(huì)生成溢出異常。因此，我用來(lái)生成上面顯示的直方圖的 Python 函數(shù)失敗了。為了了解原因，讓我們使用來(lái)自柯西分布的樣本生成一些直方圖：

柯西分布具有分位數(shù)函數(shù)

對(duì)?

?評(píng)估?

給出

這意味著，例如，在 0.0001 的概率下，采樣值大于 3183.10。為了比較，讓我們計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的相應(yīng)分位數(shù)：

norm.ppf(0.99)

norm.ppf(0.999)

norm.ppf(0.9999)

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