一個(gè)有關(guān)分級(jí)火箭的問(wèn)題（重制版）

問(wèn)題：

有一個(gè)總質(zhì)量為M的N級(jí)火箭，現(xiàn)在，要利用它發(fā)射一顆質(zhì)量為P的衛(wèi)星。已知初始時(shí)火箭與衛(wèi)星均靜止，發(fā)射過(guò)程中推力極大，重力可以忽略。設(shè)第i（i為不大于N的正整數(shù)）級(jí)火箭質(zhì)量為mi，其中燃料質(zhì)量為αmi (0<α<1)。已知燃料燃燒后，無(wú)質(zhì)量虧損地全部向火箭后方噴出，噴出時(shí)相對(duì)火箭的速率為u（u為已知常量）；第i級(jí)火箭中的燃料耗盡后，它立即無(wú)相對(duì)速度地脫離火箭，并且第(i+1)級(jí)火箭立即被啟動(dòng)。試求：當(dāng)?shù)贜級(jí)火箭脫離衛(wèi)星后，衛(wèi)星的速度u0最大為多少？此時(shí)mi取何值？

?

解答：

當(dāng)?shù)趇級(jí)火箭工作時(shí)，有：

在以上算式中，v為某時(shí)刻衛(wèi)星速度，mi’為該時(shí)刻第i級(jí)火箭質(zhì)量，

將等式兩邊積分可得：

式中，vi為第i級(jí)火箭工作完畢后的速度。由上式易知：

由題意：

由于u為常數(shù)，所以要想得到u0的最大值，必須得到等式右邊表達(dá)式的最大值。但等式右邊的表達(dá)式極其復(fù)雜，不易求得它的最大值。

為了解答這個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，我們不妨先討論幾種簡(jiǎn)單情況，探究這個(gè)表達(dá)式的規(guī)律，然后嘗試用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明找到的規(guī)律的正確性，繼而得出結(jié)論。

當(dāng)N=1時(shí)，毫無(wú)疑問(wèn)，必有：

當(dāng)N=2時(shí)：

兩邊分別對(duì)m2求導(dǎo)：

令

可得：

由于0< m2<M，所以有：

從而易得：

當(dāng)N=3時(shí)，由于有且僅有三個(gè)變量，所以我們先把m3看做常量，求出極大值關(guān)于m3的函數(shù)u0= u0 (m3)，再將m3視為變量，得到最終的最大值。

利用N=2時(shí)的結(jié)論，將結(jié)論式中的P寫(xiě)成(P+ m3)，M寫(xiě)成(m1+ m2)：

考慮到M= m1+ m2+ m3，所以有：

等式兩邊對(duì)m3求導(dǎo)，并令

可以得到：

繼而可得：

由上述討論，我們可以猜測(cè)，對(duì)N級(jí)火箭而言，若想讓衛(wèi)星最終速度最大，應(yīng)有：

下用數(shù)學(xué)歸納法證明此結(jié)論。

設(shè)對(duì)任意不大于k的N，此結(jié)論成立，那么當(dāng)N=k+1時(shí)，必有：

等式兩邊對(duì)mk+1求導(dǎo)，并令

得：

當(dāng)i不大于k時(shí)：

此時(shí)，u0的表達(dá)式為：

證畢。

所以，最終結(jié)論為：