牛頓374、證明費馬引理

費馬引理（百度百科）：

通過證明可導函數(shù)的每一個可導的極值點都是駐點（函數(shù)的導數(shù)在該點為0），該定理給出了一個求出可微函數(shù)的最大值和最小值的方法。

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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…可導：若f（x）在x0處連續(xù)，則當a趨向于0時，[f（x0+a）-f（x0）]/a存在極限，則稱f（x）在x0處可導…見《牛頓360》…

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…駐、點、駐點：見《牛頓368》…

…導、數(shù)、導數(shù)：見《牛頓288~294》…

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

因此，利用費馬引理，求函數(shù)的極值的問題便化為解方程的問題。

需要注意的是，費馬引理僅僅給出了函數(shù)在某個點為極值的必要條件。

…必、要、必要，條、件、條件，必要條件，費馬引理給出了函數(shù)在某個點為極值的必要條件：見《牛頓369》…

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也就是說，有些駐點可以不是極值點，它們是拐點。

…拐點：使函數(shù)凹凸性改變的點…見《牛頓368》…

費馬引理陳述

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函數(shù)f（x）在點a的某鄰域U（a）內(nèi)有定義，并且在a處可導，如果對于任意的x∈U（a），都有f（x）≤f（a）[或f（x）≥f（a）]，那么f '（a）=0。

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

證明

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

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設f（x）在ξ處極大，故不論Δx是正或負，總有f（ξ+△x）≤f（ξ）

…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個希臘字母，中文音譯：克西。

小寫ξ用于：數(shù)學上的隨機變量…

…△：讀音是“德爾塔”。音標為/delt?/。

在物理學中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見《牛頓8》…

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f（ξ+△x）≤f（ξ）

→f（ξ+△x）-f（ξ）≤0

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設△x?0，

則[f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x?≤?0

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由極限的保號性有

f '+（ξ）=lim（△x→0+） [f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x?≤?0 （1）

…極、限、極限：見《牛頓202~321》…

…極限的保號性：見《牛頓370~373》…

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍

v.限制；限定；限量；減量…]

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…△x→0+：△x從正方向接近0…

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而當△x＜0時，[f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x≥0

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故

f '-（ξ）=lim（△x→0-） [f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x?≥0 （2）

…△x→0-：△x從負方向接近0…

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∵??f（x）在a處可導

∴?導數(shù)f ’（ξ）存在。

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根據(jù)導數(shù)定義：f '-（ξ）=f '+（ξ）=f '（ξ）=lim（△x→0） [f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x?（3）

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用數(shù)軸判斷，（1）、（2）兩個不等式的解集為

f '-（ξ）=f '+（ξ）=lim（△x→0） [f（ξ+△x）-f（ξ）]/△x=0 （4）

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（3）（4）聯(lián)立，得：f '（a）=0

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“設f（x）在ξ處最小”的情況，同理。

“羅爾定理描述如下：

如果R上的函數(shù)f（x）滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間?[a，b] 上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；（3）f（a）=f（b）。

則至少存在一個ξ∈（a，b），使得f'（ξ）=0。

請看下集《牛頓375、證明羅爾中值定理》”

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