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一、Hausdorff空間

1.在一般的拓撲空間上（而非在度量空間上），討論收斂會有問題，同時單點集有可能不是閉集，這兩點跟之前的“經(jīng)驗”不一樣。例2.59、2.60反映了這兩點，兩個例子本質上都是因為b和c的任一鄰域都無法排除a。

為了情況變“正?！?，引入Hausdorff條件，即T?公理。

（繞明白這邏輯，得對一般拓撲空間中的開集、鄰域、收斂定義足夠清晰）

（1.5 命題2.27。有限集是一個Hausdorff空間當且僅當它是一個離散拓撲。

該命題說明有限集用處不大。）

2.定理2.25。在Hausdorff空間中任何點列至多收斂到一個點。（證明過程跟證明數(shù)列極限唯一性一樣）

3.定理2.26。在Hausdorff空間中任何單點集都是閉集。（證｛x?｝是閉集只需證｛x?｝?是開集。證明中再次用到A∩B=??A?B?這層邏輯，具體而言是通過U(x)∩U(x?)=?得知U(x)?U(x?)?｛x?｝?）

①推論：在Hausdorff空間中任何有限集都是閉集。

②例2.62說在有限補拓撲中，單點集都是閉集，但不是Hausdorff空間。

從而引出了Fréchet條件，即T?公理。

4.分離公理。成體系總結T?，T?，T?，。。。

二、連續(xù)映射。

1.設映射f：X→Y。其中(X,τ?)，(Y,τ?)是拓撲空間。則f在X上連續(xù)當且僅當?U∈τ?，f?1(U)∈τ?。

也就是說判斷連續(xù)映射不要僅僅看定義域和陪域，還要仔細看是在什么拓撲下。

2.數(shù)學分析中主要研究的幾類映射。基本上不出IR?范圍。

3.證明平面曲線若參數(shù)方程函數(shù)連續(xù)，則曲線映射是連續(xù)映射。