【數(shù)學基礎Ep10】每天三道題（數(shù)學分析+解析幾何+線性代數(shù)）
參考資料：
《數(shù)學分析教程》（常庚哲 史濟懷 編）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)習題集》（楊子旭 編）
數(shù)學分析——
例題（來自《數(shù)學分析教程（常庚哲 史濟懷?編）》）——
設a，b，c是三個給定的實數(shù)，令a0=a，b0=b，c0=c，并歸納地定義：
an=（bn-1+cn-1）/2
bn=（cn-1+an-1）/2，n=1，2，3，……
cn=（an-1+bn-1）/2
求證：lim?an=lim bn=lim cn=（a+b+c）/3.
證——
令x=a+b+c=a0+b0+c0；
an+bn+cn
=（bn-1+cn-1）/2+（cn-1+an-1）/2+（an-1+bn-1）/2
=an-1+bn-1+cn-1
=……
=a0+b0+c0
=a+b+c
=x；
an
=（bn-1+cn-1）/2
=（x-an-1）/2
=x/2-an-1/2
=x/2-（x/2-an-2）/2
=-[-x/2+x/2^2-x/2^3-……+x（-1/2）^n]+a0（-1/2）^n
=-（-x/2）[1-（-1/2）^n]/[1-（-1/2）]+a0（-1/2）^n
=[1-（-1/2）^n]x/3+a0（-1/2）^n；
lim?an
=lim{[1-（-1/2）^n]x/3+a0（-1/2）^n}
=lim [1-（-1/2）^n]x/3+lim a0（-1/2）^n
=x/3+0=x/3=（a+b+c）/3；
同理：lim?an=lim?bn=lim?cn=（a+b+c）/3，證畢。
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
定比分點：在線段P1P2上求一點P，使得由P分成的兩個有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ.
解：任取一點O，假定OP1及OP2為已知——
因為P1P=λPP2，即OP-OP1=λ（OP2-OP）；
由1，（1+λ）OP=OP1+λOP2；
OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點公式。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)習題集（楊子旭）》）——
數(shù)集F={2n/（2n+1）|n為任意整數(shù)}是否作成數(shù)環(huán)或數(shù)域。
解：既不作成數(shù)域，也不作成數(shù)環(huán)，因為對加法不封閉，如2/3，4/5是該數(shù)集元素，2/3+4/5=22/15不是該數(shù)集的元素，故而不構(gòu)成數(shù)環(huán)或者數(shù)域。
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