在之前我們經(jīng)常提起數(shù)組，還說數(shù)組可以出現(xiàn)“待定”的狀態(tài)，那么現(xiàn)在我們將學習一種新的技巧板塊，叫做待定數(shù)組（Almost Locked Set，簡稱ALS）。

今天我們要講的是第一種待定數(shù)組的使用模型：欠一數(shù)組（Almost Locked Candidates）。

Part 1 欠一數(shù)對（Almost Locked Pair）

如圖所示，如果r9c6 = 1的話，就會發(fā)現(xiàn)，r7里只剩下r7c3 = 1；而如果r9c6 = 6的話，r7c3 = 6，所以不管r9c6填什么，r7c3就填什么。而r9c6只能填入1或6，所以r7c3就只可能填1或6。

而其它的刪數(shù)又是怎么回事呢？仔細觀察r7和b8的交集，這三個單元格里也有1和6的位置。如果r9c6是1的話，在這三個單元格里，必然也會產生一個6；因為r7和b8里都只剩下這幾個單元格能放下6了；同樣地，如果r9c6是6的話，那只有這幾個單元格里能放下1。換而言之，不論怎么填，在r7和b8里都將產生1和6的數(shù)對結構；而拆開來看，r7c456又像是區(qū)塊一般。所以，b8里的其余單元格將不能放下1和6；而r7c3則是只能放下1和6，其余候選數(shù)也應當刪除掉，所以總的結果就是圖上那樣。

這個結構稱為欠一數(shù)對（Almost Locked Pair，簡稱ALP），不過實際上，因為也可以拆開來看，把r7c456視為區(qū)塊理解，所以這個技巧的英文名稱則為Almost Locked Candidates，而Locked Candidates就是區(qū)塊，Almost即待定的意思，所以技巧名也直譯為“待定區(qū)塊”。接下來我們來看一種ALP的變體。

Part 2 欠一數(shù)對的拓展模型

拓展構型理解起來沒有標準類型容易，所以我們將給出比較多的例子提供參考。

如圖所示，和剛才的推理大致相同。假設r9c7 = 2，則因c9只能在r4c9放下2，所以此時r4c9 = 2；同理的話，r9c7 = 7，則r4c9 = 7。所以r4c9的填數(shù)只可能放2或者7；同理，在c9和b9的交集里，還能放下2和7，這使得b9里的其余位置都不能填入2和7，因為r9c7填一個數(shù)，那么這三個單元格里就必然會產生另外一個數(shù)的填數(shù)。

那么，為什么可以刪除4呢？因為c9里此時因為r4c9刪除了除了2和7的候選數(shù)，使得數(shù)字4在c9里形成區(qū)塊，所以b9里不能再填入4，所以b9里其余位置都不能放4，于是刪除掉它們。

這個結構除了ALP以外，還帶有一個4的額外區(qū)塊結構。不過，實際上這種構型并不僅僅這么簡單，我們再來看一些例子。

如圖所示，我們率先可以看到，r1c6只有1和6。我們嘗試對b3進行1和6的位置的查找。此時可以發(fā)現(xiàn)，在b3里能放下1和6的地方此時只有r23c7。這一點我們依然使用之前的邏輯，假設r1c6是1，然后就可以得到r23c7里必有一個是1；而r1c6是6，也可以得到r23c7必有一個是6。不過此時我們依然不能隨意下結論。因為目前來說，我們并沒有區(qū)域能夠產生我們需要的1和6的數(shù)組。

不過我們注意到，b3里只有r23c7和r3c9這三個單元格可以填入5和8，這便使得r23c7和r3c9里必須有一個5和一個8，那么剩余一個單元格放多少呢？顯然只能是1或者6了。因為剛才我們通過邏輯得到，r23c7里必須得有一個1或者6，但現(xiàn)在這兩個單元格里必然會有5或者8的出現(xiàn)，這使得此時r23c7里只剩下一個單元格可以放1和6了。顯然，如果r23c7都放下5和8的話，1和6就沒地方可以放了，所以我們可以得到r23c7里必須放進去一個1和6。

不過，這樣一來，5和8出現(xiàn)在r23c7和r3c9的其中兩個單元格，而剩下的唯一一個單元格又必須是1或者6的其一，所以這三個單元格顯然就不能填入其它的任何候選數(shù)了，所以我們可以安全地刪除掉它們；與此同時，r1上由于r1c6是1或者6的緣故，而r23c7會根據(jù)這一點要求確定出與之相同的填數(shù)，所以r1c78里必須填入的是與之互斥的另外一個數(shù)。換句話說，如果r1c6是1，那么根據(jù)剛才的要求，r23c7里必須有一個1，而r1c78里就必須有一個6了，因為b3必須得有一個6，而6能填的位置此時只剩下r1c78了，r23c7里雖然還剩下一個單元格，但它被留下來放5或者8了。

接著我們再來一則和上述邏輯完全一樣的例子。

假設r5c4是3，則在b2里能放下3的位置只有r2c5；而當r5c4是9的話，則r3c56里必須有一個是9。不過我們此時不能得出結論，就需要進一步的邏輯。

此時我們看到，b2里能放2和5的位置此時只有r2c5和r3c56三個單元格。顯然，這三個單元格里肯定得放一個2和一個5，那么還剩下的一個單元格就必須按照剛才的規(guī)定放下3或者9的其一。但是很顯然，由于這三個單元格只能放下2、3、5、9的數(shù)字的其三，跟其它的候選數(shù)無關，所以1、4、6、7、8出現(xiàn)在這三個單元格的候選數(shù)情況都可以刪除掉；與此同時，由于r5c4假設的數(shù)字的關系，r23c4里就必須有一個單元格填入3和9的另外一個數(shù)了，否則這個數(shù)將放不到b2里，導致問題的出現(xiàn)。

所以，c4上依然可以產生一個3和一個9在r235c4三個單元格之中，因此其余單元格的3和9都可以刪除。

如圖所示，這一個示例和之前的邏輯也都大致相同。只是這里涉及的額外的那些數(shù)字從兩個變?yōu)?個。

首先我們觀察到的是r6c9只能放入4和7，如果假設它為4，則觀察c7，可以看到4和7的位置此時只有r789c7。而仔細觀察，c7里r5789c7四個單元格里必須要放下一個1、一個2和一個8（因為只有這些單元格可以放下1、2、8），所以四個單元格里最終只剩下一個單元格，但這個單元格實際上又必須放下4或者7，因為這是我們剛才得到的結論。所以，這四個單元格里顯然只能放入1、2、4、7、8的其四，故其余的候選數(shù)都可以被刪除；與此同時，r46c7的其一必須放下4和7的、和r6c9填數(shù)互斥的另外一個數(shù)。所以，b6里一定會有r46c7和r6c9里又一定會出現(xiàn)4和7，所以刪除掉b6里其余位置的4和7。

這一些示例都比較難理解，而且比較繞。我們最后列出一些例子，希望你能理解并且嘗試自己理解它們。

這四個示例都比較經(jīng)典，但也都具有挑戰(zhàn)性。

Part 3 欠一三數(shù)組（Almost Locked Triple）

如圖所示，這一個示例好像是擴大了“數(shù)組”的規(guī)格。我們假設r1c45分別填入1、6、8的其二，而觀察c6就會發(fā)現(xiàn)，此時填入的這兩個數(shù)只能放在r79c6，因為其余位置都沒有位置可以放下這兩個數(shù)了。而在b2和c6的交集里，由于剛才假設的是1、6、8的其二，所以在此交集里，必然會出現(xiàn)的是最后剩下的那一個數(shù)。所以，b2和c6都會產生三數(shù)組結構，也因此，b2里的其余單元格都不能填入1、6、8。

這個結構運用了三數(shù)組，所以稱為欠一三數(shù)組（Almost Locked Triple，簡稱ALT）。

接下來我們再來看一些類型的示例。

Part 4 確定值構型

如圖所示。和前文介紹的類型不同，這個欠一三數(shù)組帶有一個提示數(shù)r1c4的數(shù)字1。這個如何推理呢？發(fā)現(xiàn)r3c4只有候選數(shù)7和8，不論它是7還是8，數(shù)字1在b8內都只有r78c6兩處可以放。此外，數(shù)字7和8在最初假設r3c4填入的時候，b8內和c4出現(xiàn)交集的r78c4兩個單元格也是不允許填入這個數(shù)字的。舉個例子，如果r3c4是7的話，那么r78c4就不能是7；如果r3c4是8的話，也是同樣的道理。

接著觀察r78c6，由于剛才的假設r3c4的填數(shù)已經(jīng)成立，所以r78c6里必然會有一個數(shù)字是填入原本這個假設的數(shù)字的；但是，這兩個單元格里必然還需要出現(xiàn)一個1，所以r78c6自然不允許填入1和7或8其一以外的其它數(shù)字。換句話說，也就是r78c6不允許出現(xiàn)1、7、8以外的其它數(shù)字，所以可以排除掉它們。與此同時，r2c4也不能填入7和8了，這是因為，一旦我們定下r78c6里必然會有r3c4填入的數(shù)字的話，那么7和8里另外的一個數(shù)就必須在b8里出現(xiàn)在r78c4里。所以這樣一來，這個7和8其一（r3c4）和另外的數(shù)字（r78c4的其一）就可以構成關于7和8的顯性數(shù)對，故位于c4的其余單元格就不再可以填入額外的7和8了，因此可以排除掉它們。

下面我們再來看一個例子。

這一題和上一個題目的推理邏輯類似，你可以嘗試進行類比推理。

實際上，ALT并非這么簡單，既然ALP擁有拓展構型，那么ALT也是有的，下面我們就來看一下這些例子。

Part 5 拓展構型

如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)r12c7里一定放下的是2、3、7的其二。顯然，此時這兩個數(shù)在r89c7里就不會出現(xiàn)了。但是觀察b9，可以發(fā)現(xiàn)這兩個我們假設的數(shù)字此時只能放在r7c89和r8c8里，而此時這三個單元格里必須得有一個是5（因為此時b9里只有這三個單元格可以放下5）。所以，這三個單元格此時的形式就只可以是一個5和兩個2、3、7的數(shù)字，但這些數(shù)字跟1、4、6、8、9這些數(shù)字都沒有關系，所以自然都可以刪除掉；與此同時，和剛才的邏輯一樣，c7也可以刪除2、3、7，是因為r89c7里必有一個2、3、7，而這個數(shù)恰好必須是和r12c7的兩處填數(shù)不同的剩下那個數(shù)。

這一個示例和之前的示例一樣，所以我們就不作過多的描述了。

另外從理論層面上說，欠一數(shù)組本身不包含四數(shù)組形式，因為欠一數(shù)組實際上可以視為區(qū)塊處理，而區(qū)塊是無法涉及四個單元格的，所以，所謂的欠一四數(shù)組實際上并不存在（或者說即使有結構，也會被其它技巧代換掉，或者是降階）。但實際上，欠一數(shù)組結構依然具有四數(shù)組類型，但它出現(xiàn)頻率極低，而且標準類型沒有例子，所以我們不得不從確定值類型開始入手講解。

Part 6 欠一四數(shù)組（Almost Locked Quadruple）

如圖所示，我們注意到，r12c7一共只有2、3、7三種數(shù)字。我們任意假設兩個單元格填入的數(shù)字（假設用字母a和b表示），那么a和b最終能夠在b9里填入的位置只有r7c89和r8c8三個單元格。

但是注意到，數(shù)字5在b9只能放在這幾個單元格，因此這三個單元格必然只能是a、b和數(shù)字5。而a和b是2、3、7的其二，所以最終這三個單元格應當只能填入2、3、5、7的其三。所以，這三個單元格不應當填入其它的數(shù)字，把它們都排除掉；與此同時，2、3、7里a和b放入了這三個單元格后，2、3、7里最后剩下的那個數(shù)字只能被放入到r89c7里，所以c7里依然也可以產生一個2、3、7的三數(shù)組結構，因此c7其余單元格都不能填入2、3、7，依然可以刪除掉。這一則示例的推理方式比較奇特。我們再提供兩則示例。

你可以參照這兩則示例來自行推理。

Part 7 欠一數(shù)對的直觀視角

可以看到，這些示例的結構都還比較簡單，下面我們來介紹一種可以通過直觀層面看到的方式。

我們假設r9c6 = x（注意，我們這里利用設未知數(shù)x的方式來假設，此時x是1和6其一），可以發(fā)現(xiàn)，所有x值可能的情況都不可能放在r7c128上。除了同時在b8的r7c45外，只剩下r7c3一個單元格。所以，r7c3 = x，故得到r7c3里非x的刪數(shù)；同理，b8里其余位置都不能是x。

這個思維視角使用了假設為未知數(shù)的方式來間接得到推論，這在數(shù)獨技巧里稱為代數(shù)（Kangaroo），而這個技巧在后面會詳細提到。

Part 8 欠一數(shù)組的互補性

實際上，數(shù)組有互補，那么欠一數(shù)組就可以有互補，因為它們都借助了一點，即觀察角度的切換，雖然說是切換，但實際上刪數(shù)確實一致的，對于這一點，我們在數(shù)組和標準鏈列里已經(jīng)深刻體會到了。那么欠一數(shù)組的互補是如何的呢？我們可以先來看看一些示例。

如左圖所示，這是一個欠一三數(shù)組的拓展類型示例，我想，這一點我們將不用過多去介紹它的刪數(shù)邏輯了。由于結構涉及r7和b9，所以我們嘗試把r7里的兩處放1、6、7的單元格進行互補視角的轉化，去掉它們，而取而代之的使用刪數(shù)的單元格（而r7和b9的交集，即r7c789我們目前不用處理）。另外，b9也進行同樣的視角轉換操作，于是我們就可以轉化到右圖的形式。

可以看到，右圖就將欠一三數(shù)組轉變?yōu)榱艘粋€欠一數(shù)對，而且刪數(shù)完全沒有發(fā)現(xiàn)變化。你可能會問我為什么如此神奇，實際上在視角轉化的時候，利用的就是顯隱性互補的模式，我們把沒涉及到的單元格全部勾選了出來，而把涉及的全部無一例外地都去掉了。

技巧信息

• 欠一數(shù)對：難度4.5。

• 普通類型：沒有附加難度。

• 確定值類型：4.5+(確定值個數(shù)*0.1)。

• 欠一三數(shù)組：難度5.2。

• 普通類型：沒有附加難度。

• 確定值類型：5.2+(確定值個數(shù)*0.1)。

• 欠一四數(shù)組：難度5.7。

• 普通類型：沒有附加難度。

• 確定值類型：5.7+(確定值個數(shù)*0.1)。

拓展類型和確定值類型的計算方式類型，只不過看的是里面的“紫色數(shù)字”有多少種。

名詞解釋

• 欠一數(shù)組（Almost Locked Candidates）：今天講的技巧類別。當前這個類別我們是按照數(shù)組的模式來討論的，但在外國的一些資料上，它們是使用區(qū)塊來拓展的，所以它們在取名的時候帶了一個“區(qū)塊”（Locked Candidates）。